题目

已知x,y是三角形两边,α,ß是同一个三角形的两角,且x,y,α,ß之间满足下列关系xsinα+ycosß=0且xcosα-ysinß=0,求α,β的值

提问时间：2020-10-30

答案

xsinα+ycosß=0 => x/y=-cosß/sinα
xcosα-ysinß=0 => x/y=sinß/cosα
故sinß/cosα=-cosß/sinα
sinαsinß+cosαcosß=0
cos(a-ß)=0
因此a-ß=±π/2
1)a-ß=π/2
则x/y=sinß/cosα=sinß/cos(ß+π/2)=sinß/(-sinß)=-1
由于x,y必大于零,因此这是不可能的
2)a-ß=-π/2
则x/y=sinß/cosα=sinß/cos(ß-π/2)=sinß/sinß=1
有x=y,可见这是一个等腰三角形
现假设第三个角为γ,由以下三种情况：
i)α=γ
此时由于α+ß+γ=π且a=ß-π/2
因此ß-π/2+ß+ß-π/2=π
ß=2π/3,a=ß-π/2=π/6
ii)ß=γ
此时由于α+ß+γ=π且a=ß-π/2
因此ß-π/2+ß+ß=π
ß=π/2,a=ß-π/2=0,因此这种情况不可能
iii)α=ß
此时由于a=ß-π/2因此这种情况是不可能的
综上有
a=π/6,ß=2π/3