题目

什么是质数?什么是素数?

提问时间：2020-10-29

答案

质数也称素数.生活中通常用质数.质数就是除了一和它本身以外没有其它的因数,叫做质数.指在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,没法被其他自然数整除的数.换句话说,只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数.比1大但不是素数的数称为合数.1和0既非素数也非合数.
只有1和它本身两个正因数的自然数,叫质数(Prime Number).（如：由2÷1=2,2÷2=1,可知2的因数只有1和它本身2这两个约数,所以2就是质数.与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个因数外,还有其它因数的数,叫合数.”如：4÷1=4,4÷2=2,4÷4=1,很显然,4的因数除了1和它本身4这两个因数以外,还有因数2,所以4是合数.）
100以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,在100内共有25个质数.
注：
（1）2和3是所有素数中唯一两个连着的数.
（2）2是唯一一个为偶数（双数）的质数.[1]
质数的平方数只有三个因数.
什么是质数?就是在所有比1大的整数中,除了1和它本身以外,不再有别的约数,这种整数叫做质数,质数又叫做素数.这终规只是文字上的解释而已.能不能有一个代数式,规定用字母表示的那个数为规定的任何值时,所代入的代数式的值都是质数呢?
质数的分布是没有规律的,往往让人莫明其妙.如：101、401、601、701都是质数,但上下面的301和901却是合数.
有人做过这样的验算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有这样一个公式：设一正数为n,则n^2+n+41的值一定是一个质数.这个式子一直到n=39时,都是成立的.但n=40时,其式子就不成立了,因为40^2+40+41=1681=41*41.
被称为“17世纪最伟大的法国数学家”费尔马,也研究过质数的性质.他发现,设Fn=2^(2^n),则当n分别等于0、1、2、3、4时,Fn分别给出3、5、17、257、65537,都是质数,由于F5太大（F5=14292967297）,他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数,Fn都是质数.但是,就是在F5上出了问题!费尔马死后67年,25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5=14292967297=641*6700417,并非质数,而是合数.
更加有趣的是,以后的Fn值,数学家再也没有找到哪个Fn值是质数,全部都是合数.目前由于平方开得较大,因而能够证明的也很少.现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495.这可是个超级天文数字,其位数多达10^10584位,当然它尽管非常之大,但也不是个质数.质数和费尔马开了个大玩笑!
17世纪还有位法国数学家叫梅森,他曾经做过一个猜想：2^p-1代数式,当p是质数时,2^p-1是质数.他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时,所得代数式的值都是质数,后来,欧拉证明p=31时,2^p-1是质数.
还剩下p=67、127、257三个梅森数,由于太大,长期没有人去验证.梅森去世250年后,美国数学家科勒证明,2^67-1=193707721*761838257287,是一个合数.这是第九个梅森数.20世纪,人们先后证明：第10个梅森数是质数,第11个梅森数是合数.质数排列得这样杂乱无章,也给人们寻找质数规律造成了困难.
现在,数学家找到的最大的梅森数是一个有378632位的数：2^1257787-1.数学虽然可以找到很大的质数,但质数的规律还是无法循通.
头五千万个质数
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【摘要】不按牌理出牌 数学家也拿他没办法
质数怎样分布?古今中外,不论是专业的数学家或业余的嗜好者,都曾被这问题所深深吸引.
质数是个比1大的自然数,除了自身和1以外,没有其他自然数可以除尽他.质数的分布有两个互相矛盾的特点.下面我会列举一些事实,使你永远相信这两个特点.
第一点,尽管质数的定义极为简单,又是自然数的建构砖石（任何自然数都可表为质因数的幂次的连乘积,且表法唯一）,它却是数学家研究的对象中最不驯的一种；质数在自然数中,像杂草似地乱长,似乎除了机会律以外,不遵守其他的规律,没人敢说下一个会从那里冒出来.
第二点更令人惊讶,因?T篕P第一点相反,质数表现出惊人的规律性.也就是说,确有规律限制质数的行为,他们像军人一样绝对服从这些规律.
为了支持第一点,我把100以下的质数和合数写出来（除了2以外,不列偶数）：
【浏览原件】
再把1千万加减一百以内的质数列出：在9,999,900与10,000,000之间的质数
9,999,901
9,999,907
9,999,929
9,999,931
9,999,937
9,999,943
9,999,971
9,999,973
9,999,991
在10,000,000与10,000,100之间的质数
10,000,019
10,000,079
你看!没有什麼理由可以说这个数是质数,那个数不是质数.当你看到这些数字时,是否联想到宇宙的奥秘,像天边那闪烁的星星一样神秘不可测?甚至数学家都无法揭开此一奥秘,如果他们能够,他们就不会劳神苦思去计算下一个更大的质数是多少了.（没有人会想去找比前一个平方数更大的平方数,或2的幂次数——通常一个好学生只记到210=1024）.
1876年,Lucas证明2127-1为质数,这纪录维持了75年.这也难怪,因为
2127-1
=1701411834604469231731687303715884105727
直到1951年,电子计算机的新纪元,更大的质数陆续发现（见下表历次记录）.目前的记录是6002位的219937-1,不信的话,你可以去查Guiness世界记录.（编者注：根据合众国际社1978年11月15日报导,这记录已被两个18岁的加州大学学生打破.）