题目

圆M：X²＋Y² －2mX－2nY＋m²－1＝0与圆N：X²＋Y²＋2X＋2Y－2＝0交于A,B两点.且二点平分圆N的圆周,求圆N半径最小时的方程.
正确答案为：（X＋1）²＋（Y＋2）²＝5

提问时间：2020-10-29

答案

（应该是求圆M半径最小时的方程吧.）
公共弦AB方程：（X²＋Y²＋2X＋2Y－2）-（X²＋Y² －2mX－2nY＋m²－1）
=（2+2m)x+(2+2n)y-m²-1=0
因为A、B评分圆N,所以AB即为圆N直径,过圆心N（-1,-1）
所以带入直线方程得：-2-2m-2-2n-m²-1=0
整理得：m²+2m+2n+5=0
因为圆M方程可写为：（x-m)^2+(y-n)^=n^2+1
所以半径的平方为：n^2+1
半径最小,即n最小,即2n最小
因为2n=m²+2m+5,所以m=-1时,2n最小,此时n=-2
圆N方程为X²＋Y²+2x+4y=0