题目

如图，E，F是平行四边形ABCD对角线上两点，AE=CF．
求证：（1）BE=DF；
（2）四边形BEDF是平行四边形．

提问时间：2020-10-29

答案

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等），
∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等），即∠BAE=∠DCF．
在△ABE和△CDF中，

AB＝CD ∠BAE＝∠DCF AE＝CF(已知)

，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE=DF（全等三角形的对应边相等）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠BEA=∠CFD（全等三角形的对应角相等）．
∵∠BEF=180°-∠BEA，∠AFD=180°-∠CFD，
∴∠BEF=∠AFD，
∴BE∥DF（内错角相等，两直线平行）；
又由（1）知，BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

（1）由全等三角形△ABE≌△CDF是对应边相等来证得BE=DF；
（2）由平行四边形的判定定理“对边平行且相等的四边形为平行四边形”来证明四边形BEDF是平行四边形．

本题考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．