题目

1.抛物线C:y的平方=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线L与此抛物线C交于P,Q两点,且向量PQ=-2向量FQ
(1)求直线L的方程
(2)若|PQ|=9/2,求此抛物线的方程
2.已知平面内的一个动点P到直线L:x=4根号3/3的距离与到定点F(根号3,0)的距离之比为2根号3/3,设动点P的轨迹为C
(1)求轨迹C的方程
(2)设F1,F2分别为C的左右焦点,求|PF1|乘|PF2|的最大值和最小值
(3)设过定点M(0,2)的直线L与轨迹C交于不同的两点A,B,且角AOB为锐角(其中0为坐标原点),求直线L的斜率K的取值范围

提问时间：2020-10-29

答案

不妨先设P在x轴上方,
设L:y=k(x-p/2),
与y^2=2px联立,消去x,得
y(P)*y(Q)=-p^2
又由题,得
y(P)=-2*y(Q)
由两式可解得
y(P)=p*√2,
y(Q)=-p*√2/2.
所以PQ的斜率为
k=2p/[y(P)+y(Q)]
=2√2.
所以PQ的方程为：
y=2√2(x-p/2).
根据对称性,得
PQ的P在x轴下方时的方程是：
y=-2√2(x-p/2).
谢谢!