题目

证明：一个矩阵A是M x N,证明A的共轭转置的核空间与A正交补的像空间是否相等.

提问时间：2020-10-29

答案

我数学系,这多年基本没见过"矩阵的正交补"的概念.只见过"空间的正交补"概念.
但是你这题,很好证明,而且最小二乘法中有类似的证明,可以给你讲下思路.
第一个空间:共轭转置我们记作*,那么核子空间就是A*x=0的解空间.
第二个空间:我们设矩阵A的正交补为B,那么它的像空间,就是任意n维列向量x,Bx全体组成的空间.
接下来证明任意元素属于第二个空间一定属于第一个空间.
第二个空间里的元素都可以用Bx表示,那么A*(Bx)=0,这是由正交补的概念得到的(A*B=0),这说明Bx属于第一个空间.
再证明第一个空间中的元素都属于第二个空间
将第二个像空间{Bx}看成是,由B的列向量作为基底张成的空间,那么他就是B的列向量的线性组合.
我们由正交补的定义知道A*B=0,r(B)=n-r(A)
任意x使得A*x=0,都是B的列向量的线性组合,故x属于第二个空间.
这是证明思路,但是我说了矩阵的正交补的概念一般没有,你这题有问题,回去再看看原题吧