题目

△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且

cosB

cosC

＝−

b

2a+c

（1）求∠B的大小；
（2）若a=4，S＝5

3

，求b的值．

提问时间：2020-10-29

答案

（1）由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入已知的等式得：

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，
化简得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB
=2sinAcosB+sin（C+B）=2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，
又A为三角形的内角，得出sinA≠0，
∴2cosB+1=0，即cosB=-

1

2

，
∵B为三角形的内角，∴∠B=

2π

3

；
（2）∵a=4，sinB=

3

2

，S=5

3

，
∴S=

1

2

acsinB=

1

2

×4c×

3

2

=5

3

，
解得c=5，又cosB=-

1

2

，a=4，
根据余弦定理得：
b²=a²+c²-2ac•cosB=16+25+20=61，
解得b=

61

．

（1）根据正弦定理化简已知的等式，然后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，提取sinA，可得sinA与1+2sinB至少有一个为0，又A为三角形的内角，故sinA不可能为0，进而求出sinB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由第一问求出的B的度数求出sinB和cosB的值，再由a的值及S的值，代入三角形的面积公式求出c的值，然后再由cosB的值，以及a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．

本题考点：正弦定理．

考点点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，考查了两角和与差的正弦函数公式及诱导公式，其中熟练掌握公式及定理，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．