题目

二次函数与几何综合题~
已知抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)
（1）求抛物线解析式
（2）P是抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使P,A,M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出P,不存在则说明理由
（3）在直线AC上方抛物线上有一点D,使得△DCA面积最大,求D

提问时间：2020-10-29

答案

第一问很简单,用韦达定理或者直接设方程解方程就行,能得到方程式为：
y=-1/2x²+5/2x-2
第二问：显然△PAM和△OAC都是直角三角形,
那么他们如果相似就很好理解,只要其中一个锐角相等那么肯定相似,你自己画个图,
当x＜4的时候角MAP的正切值就是线段PM的长度除以线段MA的长度
而角OAC的正切值很好求,是-1/2
他们相似只要他们的正切值相等就行,还有就是一个角的正切等于另一角的余切,还好理解的,这个角和他们两个锐角里的哪一个相等都可以
这样在X＜4的时候,线段AM的长度就是4-x,线段PM的长度就是-y（从图像上很容易明白）
这样我们就得到个等式：
1/2x²-5/2x-2=2或者1/2
等到当x=-3的时候成立（另一个x=4舍去）
当x＞4的时候同理得到当：
x=5的时候也成立
第三问：
要使面积最大,而题意中CA的长度已经固定了,所以只要他的高,也就是从点D上做垂线到AC
上的高最大就可以了,最大的高其实很好求,平移直线CA当他和抛物线向切的时候,这个垂线段就最长了,我们设直线AC的平行线为：
y=1/2x+b（b是未知数,1/2就是直线AC的斜率,这个很好求,不细写了）
和抛物线相切也就是联立两个等式,当△=0时
得出b=0
带入他们的等式就能得到点D的坐标是（2,1）