题目

已知数列{an}中,a1=2,a2=4,a（n+1）=3an-2a（n-1） (1) 证明：数列{a（n+1）-an}是等比数列,并求出{an}通项公式.
会证等比,但是an的通项公式怎么求?我怎么求的是2^(n+1) .
哪里出错了?
由题
a2-a1=2
a3-a2=4
a4-a3=8
.
an-a(n-1)=2^n
累加
所以an-a1=2+4+8+...+2^n .
然后 an-a1=2^(n+1)-2 因为a1=2 所以an=2^(n+1) 哪里错了

提问时间：2020-10-29

答案

你错在2+4+...+2^(n-1),而不是2+4+...+2ⁿ,共n-1项相加,不是n项.
证：
n≥2时,
a(n+1)=3an-2a(n-1)
a(n+1)-an=2an-2a(n-1)=2[an-a(n-1)]
[a(n+1)-an]/[an-a(n-1)]=2,为定值.
a2-a1=4-2=2,数列{a(n+1)-an}是以2为首项,2为公比的等比数列.
a(n+1)-an=2ⁿ
an-a(n-1)=2^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=2^(n-2)
…………
a2-a1=2
累加
an-a1=2+2²+...+2^(n-1)=2×[2^(n-1) -1]/(2-1)=2ⁿ-2
an=a1+2ⁿ-2=2+2ⁿ-2=2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ.