题目

设函数f（x）=x³-2ex²+mx-lnx，记g（x）=

f(x)

x

提问时间：2020-10-29

答案

∵f（x）=x³-2ex²+mx-lnx的定义域为（0，+∞），
又∵g（x）=

f(x)

x

，
∴函数g（x）至少存在一个零点可化为
函数f（x）=x³-2ex²+mx-lnx至少有一个零点；
即方程x³-2ex²+mx-lnx=0有解，
则m=

-x3+2ex2+lnx

x

=-x²+2ex+

lnx

x

，
m′=-2x+2e+

1-lnx

x2

=-2（x-e）+

1-lnx

x2

；
故当x∈（0，e）时，m′＞0，
当x∈（e，+∞）时，m′＜0；
则m=-x²+2ex+

lnx

x

在（0，e）上单调递增，
在（e，+∞）上单调递减，
故m≤-e²+2•e•e+

1

e

=e²+

1

e

；
又∵当x₊→0时，m=-x²+2ex+

lnx

x

→-∞，
故m≤e²+

1

e

；
故选A．