题目

利用定积分中值定理(a是常数), 可得n→+∞时lim∫(n→n+a)xsin(1/x)dx=?

提问时间：2020-10-29

答案

首先重申一下定理吧：
若函数ƒ(x)在闭区间[a,b]上连续可积,则在区间[a,b]上至少存在一点ζ,使
∫(a→b) ƒ(x) dx = ƒ(ζ)(b - a),ζ∈(a,b)
或 ∫(a→b) ƒ(x)g(x) dx = ƒ(ζ)∫(a→b) g(x) dx
同样地对于∫(n→n + a) xsin(1/x) dx运用积分中值定理
函数xsin(1/x)在闭区间[n,n + a]上连续可积,则存在一点ζ∈[n,n + a]
使得∫(n→n + a) xsin(1/x) dx = ζsin(1/ζ) • [(n + a) - n] = aζsin(1/ζ)
于是lim(n→∞) ∫(n→n + a) xsin(1/x) dx = a • lim(n→∞) sin(1/ζ)/(1/ζ) = a • 1 = a
注意这里的ζ,是n ≤ ζ ≤ n + a,当n趋向无穷时,ζ也趋向无穷
所以lim(n→∞) sin(1/ζ)/(1/ζ) = 1,相当于重要定理lim(x→0) (sinx)/x = 1