题目

斜率为1的直线与抛物线y²=2x交于不同两点A、B，求线段AB中点M的轨迹方程．
．

提问时间：2020-10-29

答案

设M的坐标为（x，y），斜率为1的直线方程为y=x+m，且A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

y＝x+m y2＝2x

消去y，得x²+（2m-2）x+m²=0，…（2分）
根据一元二次方程根与系数的关系，得

x1+x2＝2−2m x 1x2＝m2

…（6分）
∵点M是线段AB的中点，
∴x＝

x1+x2

2

＝1−m，y=x+m=1，…（8分）
∵直线与抛物线有两个不同交点，
∴△=（2m-2）²-4m²＞0，解之得m＜

1

2

，
结合x=1-m可得M横坐标的范围是（

1

2

，+∞），…（9分）
因此，线段AB中点M的轨迹方程为：y＝1(x∈(

1

2

，+∞))．…（10分）

设斜率为1的直线方程为y=x+m，且A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由直线与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程（m为参数），利用根与系数的关系，得到x₁+x₂与x₁x₂关于m的表示式．设M（x，y），由中点坐标公式算出x=1-m且y=x+m=1，最后根据一元二次方程根的判别式算出m＜

1

2

，进而得到x＞

1

2

，可得线段AB中点M的轨迹方程．

本题考点：轨迹方程．

考点点评：本题给出斜率为1的直线与抛物线相交于点A、B，求线段AB中点的轨迹方程，着重考查了抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．