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题目
斜率为1的直线与抛物线y2=2x交于不同两点A、B,求线段AB中点M的轨迹方程.

提问时间:2020-10-29

答案
设M的坐标为(x,y),斜率为1的直线方程为y=x+m,且A(x1,y1)、B(x2,y2),
y=x+m
y2=2x
消去y,得x2+(2m-2)x+m2=0,…(2分)
根据一元二次方程根与系数的关系,得
x1+x2=2−2m
x 1x2m2
…(6分)
∵点M是线段AB的中点,
x=
x1+x2
2
=1−m
,y=x+m=1,…(8分)
∵直线与抛物线有两个不同交点,
∴△=(2m-2)2-4m2>0,解之得m<
1
2

结合x=1-m可得M横坐标的范围是(
1
2
,+∞),…(9分)
因此,线段AB中点M的轨迹方程为:y=1(x∈(
1
2
,+∞))
.…(10分)
设斜率为1的直线方程为y=x+m,且A(x1,y1)、B(x2,y2),由直线与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程(m为参数),利用根与系数的关系,得到x1+x2与x1x2关于m的表示式.设M(x,y),由中点坐标公式算出x=1-m且y=x+m=1,最后根据一元二次方程根的判别式算出m
1
2
,进而得到x
1
2
,可得线段AB中点M的轨迹方程.

轨迹方程.

本题给出斜率为1的直线与抛物线相交于点A、B,求线段AB中点的轨迹方程,着重考查了抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系和轨迹方程的求法等知识,属于中档题.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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