题目

已知：如图,圆O：交x^2+y^2=2交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为√2/2 的椭圆,其左焦点为F,
若P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆的左准线l于点Q.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点P的坐标为（1,1）,
①求线段PQ的长；
②求证：直线PQ与圆O相切；

提问时间：2020-10-29

答案

圆的方程
x²+y²=2
半径=√2
所以椭圆a=√2
e=c/a=√2/2=1/√2
c=1
b²=a²-c²=2-1=1
椭圆方程：x²/2+y²=1
左焦点（-1,0）左准线x=-2
直线PF的斜率=（1-0）/（1+1）=1/2
因为Kpq×Kpf=-1
所以直线PQ的斜率=-2
那么PQ：y=-2x
与x=-2联立
y=4
那么点Q（-2,4）
PQ=√(1+2)²+(1-4)²=3√2
证明：直线OP斜率=（1-0）/（1-0）=1
直线PQ的斜率=（1-4）/（1+2）=-1
Kop×Kpq=-1
也就是OP垂直PQ,命题成立