题目

已知函数f(x)＝

1

4

x4+x3−

9

2

x2+cx有三个极值点．
（I）证明：-27＜c＜5；
（II）若存在实数c，使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围．

提问时间：2020-10-29

答案

（I）因为函数f(x)＝14x4+x3−92x2+cx有三个极值点，所以f'（x）=x3+3x2-9x+c=0有三个互异的实根．设g（x）=x3+3x2-9x+c，则g'（x）=3x2+6x-9=3（x+3）（x-1），当x＜-3时，g'（x）＞0，g（x）在（-∞，-3）上为增函...

（1）题目中：“有三个极值点”先转化为其导数的零点问题，即f'（x）=x³+3x²-9x+c=0有三个互异的实0即可；
（2）存在性问题，由于f（x）的单调递减区间是（-∞，x₁]，[x₂，x₃]，只需[a，a+2]是（-∞，x₁]或[x₂，x₃]的子集即可．

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查了导数的几何意义，利用导数求闭区间上函数的最值，恒成立问题的处理方法