题目

《文汇报》载，举世瞩目的上海磁悬浮列车工程于2003年3月2日在浦东新区开工，该工程全线长35km．磁悬浮列车运行时悬浮于轨道上面，运行平稳舒适，安全无噪声，可以实现全自动化运行．据德国科学家预言，到2014年，采用新技术的磁悬浮列车的时速将达到1000km/h．现假设上海磁悬浮列车每小时使用的能源费用（千元）和列车速度（km/h）的立方成正比，且最大速度不超过550km/h．当速度是100km/h时，它的能源费用是每小时0.04千元，其余费用（不论速度如何）都是每小时40.96千元，
（1）求列车试运行时，完成全程路线所需的总费用与车速的函数关系；
（2）求车速为多少时，运行的总费用最低？（若写不下，可做在反面）

提问时间：2020-10-29

答案

（1）设能源费用每小时是q千元，车速是vkm/h，依题意有q=kv³（k为比例系数），
将v=100，q=0.04代入得k=4×10^-8．于是有q=4×10^-8v³．
因此列车从甲地行驶到乙地，所需的总费用为y=f（x）=1.4×10^-6x²+

1433.6

x

（2）因为f（x）=1.4×10^-6x²+

716.8

x

+

716.8

x

≥3[（1.4×10^-6x²）×（

716.8

x

）×（

716.8

x

）] 

1

3

═2.688（千元）．
并且最小值在1.4×10^-6x²=

716.8

x

时取得，对应的x=800km/h
当且仅当v²=，即v=800时，上面不等式取等号．
但由实际情况可知，目前建造的列车根本达不到800km/h这个速度，即上式中的v是有限制的：0＜v≤550，因此不能利用均值不等式来求函数的最值．我们可以证明函数f（v）在定义域（0，550）上是单调递减的，故车速为550km/h时，运行的总费用最低．