题目
已知直线y=kx+m与椭圆x↑2/2+y↑2=1交于AB两点,且椭圆上的点P满足向量OP=向量OA+向量OB,证明四边形OAPB的面积为定值,求m的取值范围.(注:x↑2为x的平方.
提问时间:2020-10-29
答案
先将直线方程与椭圆方程联立,得(2k+1)x^2+4kmx+2(m^2-1)=0
根据韦达定理知△=16k^2-8m^2+8>0,得m^2<1,又∵直线方程不能过原点(过原点无法构成四边形),∴m≠0,即m∈(-1,0)∪(0,1)
设A(XA,YA),B(XB,YB),可得P(XA+XB,YA+YB)
根据两点间距离公式即可证明|OA|=|PB|,|AP|=|OB|.∴四边形OAPB为平行四边形.要证四边形OAPB面积为定值,只需证三角形OAB为定值.
∵COS∠AOB=XAXB+YAYB/√(XA^2+YA^2)*(XB^2+YB^2)
则SIN∠AOB=XAYB-YBYA/√(XA^2+YA^2)*(XB^2+YB^2)
即三角形面积为1/2|OA|*|OB|*SIN∠AOB=1/2(XAYB-XBYA),最后结果为常数,即面积为定值
根据韦达定理知△=16k^2-8m^2+8>0,得m^2<1,又∵直线方程不能过原点(过原点无法构成四边形),∴m≠0,即m∈(-1,0)∪(0,1)
设A(XA,YA),B(XB,YB),可得P(XA+XB,YA+YB)
根据两点间距离公式即可证明|OA|=|PB|,|AP|=|OB|.∴四边形OAPB为平行四边形.要证四边形OAPB面积为定值,只需证三角形OAB为定值.
∵COS∠AOB=XAXB+YAYB/√(XA^2+YA^2)*(XB^2+YB^2)
则SIN∠AOB=XAYB-YBYA/√(XA^2+YA^2)*(XB^2+YB^2)
即三角形面积为1/2|OA|*|OB|*SIN∠AOB=1/2(XAYB-XBYA),最后结果为常数,即面积为定值
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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