题目

问几道与复数有关题目 好的话会加分
1.已知Z=sina+(2-cos²a)i,0≤a≤2π,求Z的模的范围
2.计算：（-√3+i）的15次方
3.设Z的模为1,且Z²+2Z+1／Z＜0,求复数Z

提问时间：2020-10-28

答案

1.|Z|^2=sin²a+(2-cos²a)²
=(cos²a)²-5(cos²a)+5
=（cos²a-5/2）²-5/4
因为0≤|Z|^2≤1
所以 1≤|Z|^2≤5,
所以 1≤|Z|^2≤√5,当且仅当 cos²a=1时|Z|=1,
当且仅当cos²a=0 时|Z|=√5
2.（-√3+i）^15=(2^15)*（cos120+isin120)^15
=(2^15)*（cos1800+isin1800).棣莫弗定理
=32768 i
3.因为 |Z|^2=Z*Z共轭=1 故 1/Z=Z共轭
所以
Z²+2Z+（Z共轭）＜0
另外,因为Z²+2Z+（Z共轭）可以与0比大小,所以它是实数
所以 Z²+2Z+（Z共轭）=（Z共轭）²+2（Z共轭）+Z
所以 Z²-（Z共轭）²+Z-（Z共轭）
=（Z-Z共轭）（Z+Z共轭+1）=0
所以 Z-Z共轭=0 也即 Z=1
或 Z+Z共轭+1=0,此时设Z=a+bi,则 Z共轭=a-bi,(a,b是实数）
所以 a=-1/2
又因为 |Z|²=a²+b²=1,所以 b=-√3/2或者√3/2
综上,Z=1 或 Z=-1/2-√3/2i 或 Z=-1/2+√3/2i
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