题目

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以D为顶点作∠EDF=90°，DE、DF分别交AB、AC于E、F，且BE²+CF²=EF²，求证：△ABC为直角三角形．

提问时间：2020-10-28

答案

证明：延长FD到点G，使DG=DF，连接BG，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△CDF和△BDG中，

CD＝BD ∠FDC＝∠BDG DF＝DG

，
∴△CDF≌△BDG（SAS），
∴∠C=∠DBG，CF=BG，
∴CF∥BG，
∵DF=DG，ED⊥FD，
∴EF=EG，
∵BE²+CF²=EF²，
∴BG²+BE²=FG²，
∴∠EBG=90°，
∵BG∥CF，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形．

延长FD到点G，使DG=DF，连接BG，可证得△CDF≌△BDG，可得CF∥BG，结合条件可得到BG²+BE²=FG²，再由平行可得出∠BAC=90°，得出结论．

本题考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．

考点点评：本题主要考查三角形全等的判定和性质，构造三角形全等，利用平行得到∠BAC为直角是解题的关键．