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题目
在光滑平面中,有一转动轴垂直于此平面,交点O的上方h处固定一细绳的一端,绳的另一端固定一质量为m的小球B,绳长AB=l>h,小球可随转动轴转动并在光滑水平面上做匀速圆周运动,如图所示,要使球不离开水平面,转动轴每秒所转圈数的最大值是(  )
A.
1
g
h

B. π
gh

C.
1
g
l

D.
l
g

提问时间:2020-10-28

答案
如图所示,以小球为研究对象,小球受三个力的作用,重力mg、水平面支持力N、绳子拉力F.

在竖直方向合力为零,在水平方向所需向心力为Fn=m
v2
R
=m4π2n2R,而小球圆周的半径R=htanθ,根据牛顿第二定律得:
  竖直方向有:Fcosθ+N=mg
  水平方向有:Fsinθ=m
v2
R
=m4π2n2R=m4π2n2htanθ
当球即将离开水平面时,N=0,转速n有最大值.
联立得:N=mg-m4π2n2tanθ=0
解得:n=
1
g
h

故选:A
当水平面对小球无支持力时,对应的转速最大,根据拉力和重力的合力提供向心力列式求解即可.

向心力;牛顿第二定律.

本题的解题关键是找出临界状态,然后根据牛顿第二定律和向心力公式列式求解,

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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