题目

已知直线y=x+1与椭圆mx²+ny²=1（m＞n＞0）相交于A，B两点，若弦AB中点的横坐标为-

1

3

，则双曲线

x2

m2

-

y2

n2

=1的两条渐近线夹角的正切值是 ___ ．

提问时间：2020-10-28

答案

把直线与椭圆方程联立

y=x+1 mx 2+ny 2=1

消去y得（m+n）x²+2nx+n-1=0
∴x₁+x₂=-

2n

m+n

=-

2

3

∴

n

m

=

1

2

∴两条渐近线夹角的正切值为

2• n m

1- n 2 m 2

=

4

3

故答案为

4

3

把直线与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂的表达式，进而根据x₁+x₂=-

2

3

，求得n和m的关系，求得渐近线的斜率，进而根据两条渐近线夹角为渐近线的斜率的两倍，进而根据正切的二倍角公式求得答案．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．要熟练记忆双曲线关于渐近线、焦点、定义等知识点．