题目

已知函数f(x)=ax^2-e^x,(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程 (2)若f(x)有两个极值点x1,x2,求a的取值范围 (3)若当x≥0时,不等式f(x)≤-x-1恒成立,求a的最大值!

提问时间：2020-10-28

答案

f'(x)=2ax-e^x
(1)
a=1
f'(x)=2x-e^x
f(0)=-e^0=-1
f'(0)=-1
所以切线方程 y+1=-x
(2)有两个极值,即f'(0)=2ax-e^x=0有两个解
即y=2ax,与y＝e^x 有两个交点
题目变成求过原点,y＝e^x的切线方程.
y＝e^x上点（x0,y0)的切线方程为 y-e^x0=e^x0(x-x0),由这个直线过原点,得e^x0=x0e^x0,所以x0＝1
所以切线方程为y=ex
所以2a>e时,y=2ax,与y＝e^x 有两个交点
3）不等式等价于x≥0时 f(x)＝ax^2-e^x+x+1≤0
f(0)=0
f'(0)=2ax-e^x+1=0
f''(0)=2a-e^x=2a-1≤0
所以a≤1/2