题目

空间四边形的两条对角线相等,顺次连接四条边的中点所得的图形是

提问时间：2020-10-28

答案

题目等价于：
设空间四边形ABCD,四边中点A',B',C',D'.其中A'为AB中点,B'为BC中点,C'为CD中点,D'为DA中点,依条件有AC=BD,求A'B'C'D'构成什么图形?
我们先分析ABC三点构成的这个面,三角形中位线定理可知 A'B' = 1/2 AC,且A'B' 平行 AC；
即： A'B' = 1/2 AC; A'B'//AC
同理有 B'C' = 1/2 BD; B'C'//BD
C'D' = 1/2 AC; C'D'//AC
D'A' = 1/2 BD; D'A'//BD
由于AC=BD,可知 A'B'=B'C'=C'D'=D'A'=(1/2)AC=(1/2)BD
又A'B'//AC//C'D', 可得A'B'//C'D',故A'B'C'D'四个点在一个平面内.可知A'B'C'D'为菱形.
那么它是否为正方形呢?易举反例,只要AC与BD这两条线空间夹角不为90度,易知A'B'与B'C'的夹角不为90度,而依条件完全可构造出AC与BD夹角不为90度的空间图形,故结论为A'B'C'D'是菱形.