题目

如图,一辆质量为M、长为L的平板车静止在光滑的水平面上,车上有一质量为m的人,某时刻开始,人从平板车的左端走向右端,求：平板车后退的距离.

提问时间：2020-10-28

答案

这是典型的对动量定理的考察.
下面给出两种解法,方法一是直接求解,方法二是利用质心来求解（我中学时候常常用这种方法来对付选择题,脑袋里面记了超多的中间结论,比如说你问的这道题,在中学我算都不用算就可以一下子写出答案）.
方法一：由于地面光滑,所以小车和人组成的系统在水平方向上不受外力作用（两者之间的摩擦力属于系统内力）,因此动量守恒（每时每刻）.我们不妨设小车的速度为V（大小可能随时在变化,这只是一个符号而已）,人的速度为v
于是：mv+MV=0（因为初始时刻两者都没有速度）.方程一
这里我们可以看出：两者的速度必定随时随地都反向,不可能出现同向的情况.
规定v方向为正方向
由于问题求的是距离,所以我们在方程一两端同时乘上时间t,得到另一个式子：
ml+MS=0.式子二
从式子二我们可以看出两者相对地面的位移来讲,大小随时都满足：l：S=M：m,也就是说和他们的质量大小成反比!（这是关键）
最后根据：人相对小车来讲,他的位移就是小车的长度,这个限制条件反映在绝对距离上就是：l-S=L.式子三
联立式子二和三就可以得到：S=mL/(m+M)
说明一点：上面的表达式都是矢量表达式而非标量表达式,这点需要注意.这可能和你平时列方程的习惯不太一样.
个人建议：如果能标量化就标量化,不能标量化（比如说矢量方向不确定的情形,例如讨论静摩擦力的时候）就用矢量方程来求解（这种方法其实更加好）
方法二：质心的观点；
这个其实是方法一的延伸,既然系统在水平方向上不受力,所以质心由于惯性会保持原来的运动状态（此处为静止）.
列方程的方式和方法一一样,只不过变了一个角度而已.
对于S=mL/(m+M)的理解,我们可以看到：对于相对位移L,就相当于小车和人共同来分配这个位移,分配的比例和质量成反比.
所以我们一下子就可以写出人相对地面的位移S1=ML/(m+M)
上面用质心的观点不太直观和便捷,下面你可以把题目附加一个条件,也就是,假定小车和人最初相对静止,但是相对地面来讲有一个初始速度v,然后人用了时间t从头走到尾,现在来求人和小车在t时间内对地面的位移.
方法也和上面类似,但是你如果熟悉了,可以直接得出答案,根本不用详细去解方程.
这里假设人向右从头走到尾,系统初始速度方向向右.
于是人的距离就是：s=vt+ML/(m+M)
对应的小车的距离就是：S=vt-mL/(m+M)
仔细观察上面两个表达式其实你就会发现：表达式的两部分,第一部分其实就是系统质心在t时间内走过的位移,第二部分其实就是小车或者人相对于系统质心所走过的位移.
这不正是我们常常讲的：绝对=相对+牵连 么,这个公式对速度,加速度,位移都适用
绝对位移是我们此处要求的,质心位移是我们的牵连位移vt,ML/(m+M)是人相对于系统质心的相对位移,正号表示和系统质心速度方向v相同,所以小车的-mL/(m+M)也就是表示他相对于系统质心来讲,速度和质心速度相反.