题目

设实数a，b，c满足a²+2b²+3c²=

3

2

，求

1

2a

+

1

4b

+

1

8c

的最小值．

提问时间：2020-10-28

答案

有柯西不等式可知：（a+2b+3c）²≤（1²+2²+3²）（a²+2b²+3c²）=9，
∴a+2b+3c≤3，可得

1

2a

+

1

4b

+

1

8c

≥3

3	2−(a+2b+3c)

≥

3

2

当且仅当a=1，b=

1

2

，c＝

1

3

时取等号．

1

2a

+

1

4b

+

1

8c

的最小值：

3

2

．

直接利用柯西不等式，推出a+2b+3c≤3，然后求解

1

2a

+

1

4b

+

1

8c

的最小值．

本题考点：柯西不等式在函数极值中的应用．

考点点评：本题考查柯西不等式的应用，基本知识的考查．