题目

等腰直角三角形ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于D．
（1）当点P运动几秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积？
（2）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．

提问时间：2020-10-27

答案

（1）∵s_△ABC=

1

2

AB•BC=50（1分），
设P运动的时间为t秒．
①当t<10秒时，P在线段AB上，
如图1，此时CQ=t，PB=10-t
∴s△PCQ=

1

2

×t×(10-t)=

1

2

(10t-t2)=50（2分）
整理得t²-10t+100=0无解（3分）
②当t>10秒时，P在线段AB的延长线上，
如图2，此时CQ=t，PB=t-10
∴s△PCQ=

1

2

×t×(t-10)=

1

2

(t2-10t)=50（3分）
整理得t²-10t-100=0
解得t=5±5

5

（舍去负值）（5分）
∴当点P运动（5+5

5

）秒时，s_△PCQ=s_△ABC（5分）（得分同上）
（2）当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明如下：（（6分），评分细则见后注）
①当t<10秒时，P在线段AB上，如图1，
过Q作QF⊥AC，交直线AC于点F
在Rt△APE和Rt△QCF中
∵∠A=45°，∠QCF=∠ACB=45°
AP=QC=t
∴△APE≌△QCF∴AE=PE=CF=QF=

2

2

t（7分）
∴四边形PEQF是平行四边形，且DE是对角线EF的一半
又∵EF=AC=10

2

∴DE=5

2

（8分）
②当t>10秒时，P在线段AB的延长线上，如图2，
作PE⊥AC，交直线AC于点E，过Q作QF⊥AC，交直线AC于点F．
同理可得DE=5

2

（10分）
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变（10分）（得分同上）
注：①未说明P在线段AB的延长线上情形者，相应步骤分不给．是否在答卷上画出第二种情形的图形不做统一要求．
②对于做出了正确判断，未做证明或虽做证明但证法错误的，给判断分（1分）．
③对于未写出判断，直接按“线段DE的长度不会改变”证明的情况，视同已做判断处理．即：若证法正确给满分（5分），若证法不对，判断分1分仍给．

（1）根据s_△ABC=

1

2

AB•BC＝50，设P运动的时间为t秒，分别分析当t＜10秒时，以及当t＞10秒时得出t的值即可；
（2）根据当t＜10秒时，P在线段AB上，得出△APE≌△QCF，以及当t＞10秒时，P在线段AB的延长线上，得出DE的长．

本题考点：平行四边形的判定与性质；一元二次方程的应用；等腰直角三角形．

考点点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质，根据已知分别进行讨论当t＜10秒以及当t＞10秒是解题关键．