题目

设数列｛an｝是首项为1的等差数列,｛bn｝是首项为1的等比数列,cn= an-bn,c2=1/6,c3=2/9,c4=7/54
1：求数列｛cn｝的通项公式与前n项和公式
2：用数学归纳法证明当n大于等于5时,cn小于0

提问时间：2020-10-27

答案

(1)
an=1+(n-1)d
bn=q^(n-1)
所以
cn=an-bn=1+(n-1)d-q^(n-1)
所以
c2=1+d-q=1/6
c3=1+2d-q^2=2/9
联立上两式,解得
d=1/2,q=4/3或d=-1/6,q=2/3
再根据
c4=1+3d-q^3=7/54
舍去d=-1/6,q=2/3这一组根
所以
d=1/2,q=4/3
所以
cn=1/2+1/2*n-(4/3)^(n-1)
由上可得
an=1/2+1/2*n
bn=(4/3)^(n-1)
令an的前n项和为An,bn的前n项和为Bn,cn的前n项和为Cn,则：
An=na1+n(n-1)d/2=n+n(n-1)/4=1/4*n^2+3/4*n
Bn=a1*(1-q^n)/(1-q)=[1-(4/3)^n]/(1-4/3)=3*(4/3)^n-3
所以
Cn=An-Bn=1/4*n^2+3/4*n-[3*(4/3)^n-3]=1/4*n^2+3/4*n-3*(4/3)^n+3
(2)
当n=5时
c5=1/2+1/2*5-(4/3)^4=-13/81＜0
成立
假设,当n=k（k＞5）时,ck＜0
当n=k+1时
c(k+1)
=1/2+1/2*(k+1)-(4/3)^k
则
c(k+1)-ck
=1/2+1/2*(k+1)-(4/3)^k-[1/2+1/2*k-(4/3)^(k-1)]
=1/2-1/3*(4/3)^(k-1)
可见c(k+1)-ck的值是k的减函数
当k=5时
c6-c5=1/2-256/243＜0
所以
当k＞5时
c(k+1)-ck＜0
又因为
ck＜0
所以
c(k+1)＜0
综上
当n≥5时,cn＜0
有点长,哪里没看懂再补充吧……