题目

为什么非齐次线性微分方程的2两个特解相减是齐次线性微分方程的特解

提问时间：2020-10-27

答案

设非齐次方程为
any^(n)+a(n-1)y^(n-1)+...+a1y'+a0y=P(x)
其两个特解为y1,y2
所以
any1^(n)+a(n-1)y1^(n-1)+...+a1y1'+a0y1=P(x)
any2^(n)+a(n-1)y2^(n-1)+...+a1y2'+a0y2=P(x)
两式相减,得
an[y1^(n)-y2^(n)]+a(n-1)[y1^(n-1)-y2^(n-1)]+...+a1(y1'-y2')+a0(y1-y2)=0
即an(y1-y2)^(n)+a(n-1)(y1-y2)^(n-1)+...+a1(y1-y2)'+a0(y1-y2)=0
令Y=y1-y2
即anY^(n)+a(n-1)Y^(n-1)+...+a1Y'+a0Y=0
所以Y是对应齐次方程的解