题目

数学题啊!、 3²-1²=8,5²-3²=16,试问任意两个奇数的平方差都能被8整除

提问时间：2020-10-27

答案

任意一个奇数都可以用2k+1的形式表示,其中k是整数
奇数的平方(2k+1)²=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1=4k(k+1)+1
因为k和k+1中必有一个偶数,所以k(k+1)是偶数,从而4k(k+1)是8的倍数,
任意奇数的平方是8的倍数+1
所以任意两个奇数的平方差都能被8整除
或者用平方差公式做：a^2-b^2=(a+b)(a-b),其中a,b是两个奇数
显然,a+b和a-b都是偶数,现证这两个数中有一个4的倍数
因为,如果它们都不是4的倍数（而都是4的倍数+2）,那么2a=(a+b)+(a-b)一定是4的倍数,从而a是偶数,这与题设条件矛盾.所以这两个数中有一个4的倍数,它们的乘积就是8的倍数