题目

在等腰RT三角形ABC中,AB=BC=5,P是三角形ABC内一点,且PA=根号5,PC=5,求PB
我试过将三角形ABC旋转到BC边,连AP',但是不知道如何证明APP'共线.

提问时间：2020-10-27

答案

等腰RT三角形ABC中,AB=BC=5,则：∠ACB=∠BAC=45°,且有勾股定理知：AC^2=AB^2+BC^2=25+25=50,所以：AC=5√2
令∠ACP=a<∠ACB=45°
在三角形APC中,有余弦定理知：
AP^2=AC^2+PC^2-2*AC*PC*cosa,代入：
5=50+25-2*5√2*5*cosa,解得：cosa=7√2/10
所以：sina=√[1-(cosa)^2]=√(1-98/100)=√2/10
令∠BCP=β=∠ACB-∠ACP=45°-a
所以：cosβ=cos(45°-a)=cos45°cosa+sin45°sina=(√2/2)*(7√2/10)+(√2/2)*(√2/10)=4/5
在三角形BPC中,有余弦定理知：
PB^2=PC^2+BC^2-2*PC*BC*cosβ,代入：
PB^2=25+25-2*25*4/5=50-40=10
所以：PB=√10