题目

已知函数f(x)=（(1/sin^4x）-1)(（1/cos^4）-1),则函数最小值是

提问时间：2020-10-27

答案

f(x)=（(1/sin^4x）-1)(（1/cos^4）-1)
=(1-sin^4x)(1-cos^4x)/(sinxcosx)^4
=(sinxcosx)^2(1+sin^2x)(1+cos^2x)/(sinxcosx)^4
=(1+sin^2x)(1+cos^2x)/(sinx)^2(cosx)^2
=(1/sin^2x+1)(1/cos^2x+1)
=(1/sin^2x+1)(1/(1-sin^2x)+1)
令sin^2x=t
t>0
y=(1/t+1)(1/(1-t)+1)
整理成关于t的一元二次方程：
(y-1)t^2-t(y-1)+2=0
讨论y=1时,t无解
故t不等于1
y不等于1时：
△>=0
(y-1)^2-8(y-1)>=0
(y-1)(y-9）>=0
y>=9
故f(x)的最小值为9