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题目
证明:若当x趋近于+无穷,函数f(x)存在极限,则极限唯一
证明:若当x趋近于+无穷,函数f(x)存在极限,则极限唯一...有好的加加加分~

提问时间:2020-10-27

答案
证明:lim(x→+∞)f(x)的极限是唯一的 用反证法证如下
假设函数f(x)当x趋于正无穷时函数极限不唯一
不妨假设lim(x→+∞)f(x)=A 且 lim(x→+∞)f(x)=B 并且A≠B.
由lim(x→+∞)f(x)=A
对于任意ε>0,存在N1>0,满足当x>N1时
|f(x)-A|<ε/2.
由lim(x→+∞)f(x)=B
对任意ε>0,存在N2>0,满足当x>N2时
|f(x)-B|<ε/2.
∴肯定能找到N=max{N1,N2}当x>N时
|f(x)-A|+|f(x)-B|<ε/2+ε/2=ε
又∵|f(x)-A|+|f(x)-B|=|A-f(x)|+|f(x)-B|≥|A-f(x)+f(x)-B|=|A-B|
∴|A-B|≤|f(x)-A|+|f(x)-B|<ε
根据极限定义可知A=B.
与题目中A≠B矛盾.
因此原结论成立
即若当x趋近于+无穷,函数f(x)存在极限,则极限唯一.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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