题目
A、B两个村庄在笔直的小河CD的同侧,A、B两村到河的距离分别为AC=1千米,BD=3千米,CD=3千米.现要在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水,铺设管道的工程费用为每千米2万元.请你在CD上选择水厂的位置并作出点O,使铺设水管的费用最节省,并求出铺设水管的总费用.
提问时间:2020-10-27
答案
依题意,只要在直线l上找一点O,使点O到A、B两点的距离和最小.
作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B,
则A′B与直线l的交点O到A、B两点的距离和最小,且OA+OB=OA′+OB=A′B.
过点A′向BD作垂线,交BD的延长线于点E,
在Rt△A′BE 中,A′E=CD=3,BE=BD+DE=4,
根据勾股定理可得:A′B=5(千米)
即铺设水管长度的最小值为5千米.
所以铺设水管所需费用的最小值为:5×2=10(万元).
作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B,
则A′B与直线l的交点O到A、B两点的距离和最小,且OA+OB=OA′+OB=A′B.
过点A′向BD作垂线,交BD的延长线于点E,
在Rt△A′BE 中,A′E=CD=3,BE=BD+DE=4,
根据勾股定理可得:A′B=5(千米)
即铺设水管长度的最小值为5千米.
所以铺设水管所需费用的最小值为:5×2=10(万元).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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