题目

紧急!一个参数题目,
已知方程：y²-6ysin@-2x-9cos²@+8cos+9=0
证明：无论@如何变化,方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线,并且求出椭圆的普通方程.
是的是的二楼的！

提问时间：2020-10-27

答案

已知方程：y²-6ysin@-2x-9cos²@+8cos@+9=0
证明：无论@如何变化,方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线,并且求出椭圆的普通方程.
证明：
因为sin²@+cos²@=1
所以y²-6ysin@-2x-9cos²@+8cos@+9
=y²-6ysin@-2x+8cos@+9-9cos²@
=y²-6ysin@-2x+8cos@+9sin²@+9cos²@-9cos²@
=y²-6ysin@-2x+8cos@+9sin²@
=y²-6ysin@-2x+9sin²@+8cos@
=(y-3sin@)²-2x+8cos@
那么方程y²-6ysin@-2x-9cos²@+8cos@+9=0
就是(y-3sin@)²-2x+8cos@=0
即x=1/2((y-3sin@)²+4cos@
它表示一条以(3sin@,4cos@)为顶点,以y=3sin@为对称轴,开口向右的抛物线
它的顶点(3sin@,4cos@)设为(x,y)
则有x/3=sin@,y/4=cos@
因为sin²@+cos²@=1
所以(x/3)²+(y/4)²=1
即x²/9+y²/16=1
所以此抛物线顶点是一个焦点在Y轴上的椭圆
椭圆的普通方程是x²/9+y²/16=1