题目

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²=4x相交于不同的A、B两点．若

OA

⋅

OB

＝−4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

提问时间：2020-10-27

答案

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为my+b=x．
联立

y2＝4x my+b＝x

，化为y²-4my-4b=0，∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b．
∴x₁x₂=（my₁+b）（my₂+b）=m²y₁y₂+bm（y₁+y₂）+b²，
∵

OA

⋅

OB

＝−4，∴x₁x₂+y₁y₂=-4，
∴m²y₁y₂+bm（y₁+y₂）+b²+y₁y₂=-4，
∴b²+（m²+1）（-4b）+4m×bm=-4，
化为b²-4b+4=0，解得b=2．
对于直线l的方程：my+b=x．令y=0，则x=2，
故直线l过定点（0，2）．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为my+b=x．与抛物线的方程联立得到根与系数的关系，再利用数量积运算法则即可得到b，进而得到直线l过定点．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为抛物线的方程联立得到根与系数的关系、数量积运算、直线过定点问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．