题目
在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点.若
⋅
=−4,证明直线l必过一定点,并求出该定点.
OA |
OB |
提问时间:2020-10-27
答案
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为my+b=x.
联立
,化为y2-4my-4b=0,∴y1+y2=4m,y1y2=-4b.
∴x1x2=(my1+b)(my2+b)=m2y1y2+bm(y1+y2)+b2,
∵
⋅
=−4,∴x1x2+y1y2=-4,
∴m2y1y2+bm(y1+y2)+b2+y1y2=-4,
∴b2+(m2+1)(-4b)+4m×bm=-4,
化为b2-4b+4=0,解得b=2.
对于直线l的方程:my+b=x.令y=0,则x=2,
故直线l过定点(0,2).
联立
|
∴x1x2=(my1+b)(my2+b)=m2y1y2+bm(y1+y2)+b2,
∵
OA |
OB |
∴m2y1y2+bm(y1+y2)+b2+y1y2=-4,
∴b2+(m2+1)(-4b)+4m×bm=-4,
化为b2-4b+4=0,解得b=2.
对于直线l的方程:my+b=x.令y=0,则x=2,
故直线l过定点(0,2).
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为my+b=x.与抛物线的方程联立得到根与系数的关系,再利用数量积运算法则即可得到b,进而得到直线l过定点.
直线与圆锥曲线的关系.
本题考查了直线与抛物线相交问题转化为抛物线的方程联立得到根与系数的关系、数量积运算、直线过定点问题等基础知识与基本技能方法,属于难题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 1根号9减绝对值2加小括号3分之1负一的次方加负一的2013次方
- 2包装一种磁带长是十厘米宽是七厘米高是二厘米胶三盒这样的磁带包装在一起至少要用纸多少平方厘米
- 3那儿秋天的天气怎么样?用英语怎么写?
- 4已知O1与O2的半径分别为R,r(R>r),圆心距为d,且两圆相交,判断关于X的一元二次方程根的情况
- 5英语 英语 (25 15:21:15)
- 6写出下列对联描绘的地方
- 7RUN的过去式
- 8一种长方形灯箱,长80厘米,宽20,框架由铝合金制成,各个面由布围成,铝合金分米,灯箱布平方分米
- 9动物界成员最多的是什么类
- 10120C时,1体积某烃和4体积O2混合,完全燃烧后恢复到原来的温度和压强,体积不变,该烃分子中所含的碳原子
热门考点