题目

四边形ABCD是边长为1的正方形,MD垂直面ABCD
NB垂直面ABCD,且MD=NB=1,E为BC中点（1）求NE与AM所成角的余弦（2）在线段AN上是否存在点S,使得ES垂直面AMN?若存在,求as的长;若不存在,说明理由

提问时间：2020-10-27

答案

你按我说的自己做个图：
设 FA,NB,KC,MD都垂直于面ABCD,且都长为1.
这样组成了一个正方体FNKMABCD.
另设E为BC中点,G为AD中点,H为NA中点.
1）FG//NE,所以所求角为FG和MA的交角.设FG与MA交于L.
以下用sqrt()表示根号.
按相似三角形,知：FL=SQRT(5)/3 ,ML=2*SQRT(2)/3,
则cos(FLM)=SQRT(10)/10.
2) 若存在S,则由ES垂直于MNA 知 ES垂直于NA
因为AEN为等腰三角形,所以EH垂直于NA
所以只需看EH是否垂直于NAM,若垂直则H=S,否则,不存在S.
然后,因为MH垂直于AN,故只需检验EHM是否为直角三角形.
计算知：MH=SQRT(6/4),EH=SQRT(3/4),EM=SQRT(9/4),
符合勾股定理.所以角MHE为直角.即EH垂直于AMN.即H=S.
完毕.
多加分啊.