题目

有三个球，一球切于正方体的各面，一球切于正方体的各棱，一球过于正方体的各顶点，求这三个球的体积之比．

提问时间：2020-10-26

答案

设正方体的棱长为1，
设切于正方体的各面的球的半径为R₁，R₁=

1

2

，则此球的体积为：

4

3

πR₁³=

π

6

；
设切于正方体的各棱的球的半径为R₂，R₂=

2

2

，则此球的体积为：

4

3

πR₂³=

2 π

3

；
设过于正方体的各顶点的球的半径为R₃，R₃=

3

2

，则此球的体积为：

4

3

πR₃³=

3 π

2

；
所以这三个球的体积之比为：1：2

2

：3

3

．

设正方体的棱长为1，由题意可知切于正方体的各面球的直径就是正方体的棱长，切于正方体的各棱的球的直径就是正方体的面上的对角线长，过于正方体的各顶点的球的直径就是正方体的对角线长．求出三个球体的体积，即可求出比值．

本题考点：球的体积和表面积．

考点点评：本题考查球的体积和表面积，球的外接体问题，是基础题．