题目

在公差为d（d≠0）的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中,已知a1=b1=1,a2=b2,a8=b3．
（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在常数a,b,使得对于一切正整数n,都有an=logabn+b成立?若存在,求出常数a和b,若不存在说明理由．
解：（Ⅰ）由条件得：1+d=q1+7d=q2​
∴d=5q=6​,
∴an=5n-4,
bn=6n-1．
（Ⅱ）假设存在a,b使an=logabn+b成立,
则5n-4=loga6n-1+b,
∴5n-4=（n-1）loga6+b,
∴（5-loga6）n+（loga6-b-4）=0对一切正整数恒成立．
∴loga6=5loga6=b+4​,
既a=
56b=1​．
故存在常数a=
56,b=1,
使得对于n∈N*时,都有an=logabn+b恒成立．…（12分）


没明白为什么因为（5-loga6）n+（loga6-b-4）=0对一切正整数恒成立．
就令两个系数都为0,得到下面?
loga6=5loga6=b+4​

提问时间：2020-10-26

答案

（5-loga6）n+（loga6-b-4）=0
在这个等式中,n可以为任意正整数,是唯一的变量
所以只有它的系数为0才能消去n对等式左边式子值的影响
即5-loga6=0
代入可得0*n+（loga6-b-4）=0
即loga6-b-4=0
所以有loga6=5,loga6=b+4