题目

用数学归纳法证明:2^2+4^2+6^2+...+4n^2=2/3n(n+1)(2n+1)

提问时间：2020-10-26

答案

lz有没有把题目篡改?
是不是2^2+4^2+6^2+...+（2n）^2=2/3n(n+1)(2n+1)
要不n=1的时候,原公式=2^2+4^2=202/3*1*2*3
虽然（2n）^2=4n^2,不过放在公式里面,概念不一样的
证明：
1、当n=1时,2^2=2/3*1*2*3,符合题述公式
2、下面证明,当f(n)=2^2+4^2+6^2+...+[2n]^2=2/3*n(n+1)(2n+1)时
f(n+1)=2^2+4^2+6^2+...+[2n]^2+[2(n+1)]^2=2/3*(n+1)(n+2)(2n+3)
f(n+1)=f(n)+[2(n+1)]^2
=2/3*n(n+1)(2n+1)+[2(n+1)]^2
=[2n(n+1)(2n+1)+12(n+1)(n+1)]/3
=[4n^2+2n+12n+12](n+1)/3
=[4n^2+14n+12](n+1)/3
=2[2n^2+7n+6](n+1)/3
=2(2n+3)(n+2)(n+1)/3
=2/3*(n+1)(n+2)(2n+3)
综上所述,当f(n)=2^2+4^2+6^2+...+[2n]^2=2/3*n(n+1)(2n+1)时
f(n+1)=2^2+4^2+6^2+...+[2n]^2+[2(n+1)]^2=2/3*(n+1)(n+2)(2n+3)
又因为当n=1时,2^2=2/3*1*2*3,符合题述公式
所以题述公式成立