题目

设a为实数,记函数f(x)=a√(1-x^2)+√(1+x)+√(1-x)的最大值为g(a)
(1)设t=√(1+x)+√(1-x),求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t)
(2)求g(a)
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提问时间：2020-10-25

答案

t=√(1+x)+√(1-x)
t²=1+x+1-x+2√[(1+x)(1-x)]=2+2√[(1+x)(1-x)]
显然t²的范围是（2,4）,t的范围就是[√2,2]
所以：√(1-x²)=√[(1+x)(1-x)]=(t²-2)/2（因为此处定义域是符合要求的,所以可以拆分）
f(x)=m(t)=a(t²-2)/2+t （√2≤t≤2）
2：
当a=0时,f(x)=t,而t的最大值为2,这时f(x)的最大值就是g(a)=2
当a＜0时,f(x)的最大值其实就是m(t)的最大值,
m(t)=a/2t²+t-a
这时一个二次函数,当t=-1/a时,m(t)取得最大值-1/(2a)-a.不过,这一值不是可以取的,因为t是有取值范围的,所以要想在这里取得最大值,那么a也要满足t的取值范围,即要：
√2≤-1/a≤2→-1/√2≤a≤-1/2.所以总结起来就是,当
-1/√2≤a≤-1/2时,取的最大值-1/(2a)-a
当a＜-1/√2即-1/a＜√2时,也就是该二次函数的对称轴在t的最小值的左边,从图像上就可以判断,此时m(t)的最大值就是当t取√2的时候,即此时
g(a)=√2
当-1/2＜a＜0即-1/a＞2时,也就是该二次函数的对称轴在t的最大值的右边,
从图像上就可以判断,此时m(t)的最大值就是当t取2的时候,即此时
g(a)=a+2
当a＞0时,二次函数m(t)开口向上,且对称轴小于0,从图像上就可以看出,此时m(t)的最大值就是当t取2时的最大值,即此时
g(a)=a+2
综合前面所有的结论：
当a≤-1/√2时,g(a)=√2；………………………………情况①
当-1/√2≤a≤-1/2时,g(a)=-1/(2a)-a…………………情况②
当a＞-1/2时,g(a)=a+2……………………………………情况③
（情况③中,其实就是将当a=0时也包括进去了,因为当a=0时,符合这一函数）