题目

已知m,n互为不相等的正数,m3-n3=m2-n2,求证1

提问时间：2020-10-25

答案

证明：
因为
m³-n³=(m-n)(m²+mn+n²)
m²-n²=(m-n)(m+n)
所以有
(m-n)(m²+mn+n²)=(m-n)(m+n)
因为m≠n
所以有
m²+mn+n²=m+n
即m²+2mn+n²=m+n+mn
即（m+n)²=m+n+mn
即（m+n)(m+n-1)=mn ①
即m+n-1=mn/(m+n)
因为上式右端大于零,所以左端也大于零,
从面必有1＜m+n
易知(m+n)/2＞√(mn)
即(m+n)²/4＞mn
把它代入①式,得
（m+n)(m+n-1)＜(m+n)²/4
令x=m+n,则上式相当于
x(x-1)＜x²/4
化简后,得
3x²＜4x
易知x≠0,从而可由上式得
3x＜4
即x＜4/3
即m+n＜4/3
综合起来,便有
1＜m+n＜4/3
完.