题目

怎么用数学归纳法证明不等式
n的平方小于2的N次方

提问时间：2020-10-25

答案

证明：
（1） n=0,1,2,3时,2^n>n^2成立
(2) 假设n=k(k>=3)时2^k>k^2成立
当n=k+1时,2^(k+1)=2*2^k=2^k+2^k>k^2+k^2
而k^2-2k-1=k^2-2k+1-2=(k-1)^2-2,k>=3,k-1>=2,(k-1)^2>=4,
(k-1)^2-2>=2>0,所以k^2-2k-1>0,k^2>2k+1,k^2+k^2>k^2+2k+1=(k+1)^2
所以2^(k+1)>(k+1)^2,即n=k+1时2^n>n^2也成立
综上,n为自然数时n的平方小于2的n次方成立