题目

一道数学题：如图,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C．
1）求A、B、C三点的坐标以及直线BC的解析式；
（2）过点A作AP∥BC交抛物线于点P．求点P的坐标以及四边形ACBP的面积；
（3）在抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使以A、M、N三点为顶点的三角形与三角形PCA相似．若存在,求出M点的坐标；若不存在,请说明理由．

提问时间：2020-10-25

答案

：易知：A（-1,0）,B（1,0）,C（0,-1）；
则OA=OB=OC=1,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ACB=90°,AC=2；
又∵AP∥BC,
∴∠PAC=90°；
易知直线BC的解析式为y=x-1,
由于直线AP∥BC,可设直线AP的解析式为y=x+h,由于直线AP过点A（-1,0）；
则直线AP的解析式为：y=x+1,
联立抛物线的解析式：{y=x+1y=x2-1,
解得{x=2y=3,{x=-1y=0；
故P（2,3）；
∴AP=(2+1)2+32=32；
Rt△PAC和Rt△AMG中,∠AGM=∠PAC=90°,且PA：AC=32：2=3：1；
若以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似,则AM：MG=1：3,或AM：MG=3：1；
设M点坐标为（m,m2-1）,（m＜-1或m＞1）
则有：MG=m2-1,AG=|m+1|；
①当AM：MG=1：3时,m2-1=3|m+1|,m2-1=±（3m+3）；
当m2-1=3m+3时,m2-3m-4=0,解得m=1（舍去）,m=4；
当m2-1=-3m-3时,m2+3m+2=0,解得m=-1（舍去）,m=-2；
∴M1（4,15）,M2（-2,3）；
②当AM：MG=3：1时,3（m2-1）=|m+1|,3m2-3=±（m+1）；
当3m2-3=m+1时,3m2-m-4=0,解得m=-1（舍去）,m=43；
当3m2-3=-m-1时,3m2+m-2=0,解得m=-1（舍去）,m=23（舍去）；
∴M3（43,79）．
故符合条件的M点坐标为：（4,15）,（-2,3）,（43,79）．