题目

已知a>0,求证根号(a^2+1/a^2)-根号2>=（a+1/a）-2

提问时间：2020-10-25

答案

令x=a+1/a
则x²=a²+1/a²+2
所以即证明√(x²-2)-√2>=x-2
即证明√(x²-2)+2>=x+√2
即证明[√(x²-2)+2]²>=(x+√2)²
即证明(x²-2)+4√(x²-2)+4>=x²+2√2x+2
即证明4√(x²-2)>=2√2x
即证明2√(x²-2)>=√2x
即证明[2√(x²-2)]²>=(√2x)²
即证明4x²-8>=2x²
即证明x²>=4
因为a>0
所以x=a+1/a>=2√(a*1/a)=2
所以x²>=4成立
倒推回去
有√(a²+1/a²)-√2>=(a+1/a)-2