题目

△ABC的三边a、b、c和面积S满足关系式：S=c²-（a-b）²且a+b=2，求面积S的最大值．

提问时间：2020-10-25

答案

由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC及面积公式S=

1

2

absinC代入条件得
S=c²-（a-b）²=a²+b²-2abcosC-（a-b）²，即

1

2

absinC=2ab（1-cosC），
∴

1−cosC

sinC

=

1

4

，令1-cosC=k，sinC=4k（k＞0）
由（1-k）²+（4k）²=cos²C+sin²C=1，得k=

2

17

，
∴sinC=4k=

8

17

∵a＞0，b＞0，且a+b=2，
∴S=

1

2

absinC=

4

17

ab≤

4

17

•

(a+b)2

2

=

8

17

，当且仅当a=b=1时，S_max=

8

17

．