题目

设数列a1=2 an+1-an=3*2^(n-1) （1）求an的通项公式 （2）bn=nan 求bn前n项的和

提问时间：2020-10-25

答案

1.
a(n+1)-an=3×2^(n-1)
an-a(n-1)=3×2^(n-2)
a(n-1)-a(n-2)=3×2^(n-3)
…………
a2-a1=3×2^0
累加
an-a1=3×2^0+3×2^1+...+3×2^(n-2)=3×[2^0+2^1+...+2^(n-2)]
=3×1×[2^(n-1) -1]/(2-1)
=3×2^(n-1) -3
an=a1+3×2^(n-1) -3=2+3×2^(n-1) -3=3×2^(n-1) -1
n=1时,a1=3×2^0 -1=3-1=2,同样满足.
数列{an}的通项公式为an=3×2^(n-1) -1
2.
bn=nan=3n×2^(n-1) -n
前n项和
Tn=b1+b2+...+bn=3[1×2^0+2×2^1+...+n×2^(n-1)]-(1+2+...+n)
令Cn=1×2^0+2×2^1+...+n×2^(n-1)
则2Cn=1×2^1+2×2^2+...+(n-1)×2^(n-1)+n×2^n
Cn-2Cn=-Cn=2^0+2^1+...+2^(n-1) -n×2^n=(2^n -1)/(2-1) -n×2^n=(1-n)×2^n -1
Cn=(n-1)×2^n +1
Tn=3Cn-(1+2+...+n)=3(n-1)×2^n -n(n+1)/2 +3