题目

已知椭圆E：a的平方分之x平方+b的平方分之y的平方=1(a>b>0),其焦点为F1,F2,离心率为2分之根号2,直线l:x+2y-2=0与X轴,y轴分别交于点A,B (1)若点A是椭圆E的一个顶点,求椭圆的方程 （2)若线段AB上存在点P,满足|PF1|+|PF2|=2a,求a的取值范围

提问时间：2020-10-25

答案

直线L与X轴的交点坐标是A(2,0).
A是椭圆的一个顶点,则有a=2,又e=c/a=根号2/2,则有c=根号2
b^2=a^2-c^2=4-2=2
故椭圆方程是x^2/4+y^2/2=1.
(ii)e=根号2/2得到a=根号2b,故椭圆方程是x^2/a^2+2y^2/a^2=1
直线x+2y-2=0代入得到:6y^2-8y+4-a^2=0
线段AB上存在点P,满足|PF1|+|PF2|=2a,即线段AB与椭圆有公共点,即上面方程在[0,1]上有解
设f(y)=6y^2-8y+4-a^2
那么有判别式=64-4*6*(4-a^2)>=0,得到a^2>=4/3
同时有f(0)>=0或f(1)>=0,得到4-a^2>=0或2-a^2>=0
故有:4/3=即a的范围是:2根号3/3<=a<=2.