题目

抛物线y²=2px（p＞0）焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，则△AKF的面积是（　　）
A. 4
B. 3

3

C. 4

3

D. 8

提问时间：2020-10-25

答案

如图过点B作准线的垂线，交准线于点D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠CBD=60°，
又AF=AK，
故△AKF为等边三角形．等边三角形△AKF的边长AK=4，
∴△AKF的面积是

1

2

×4×4sin60°=4

3

，
故选C．

分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点K，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，判断△AKF为等边三角形，△AKF的面积可求．

本题考点：抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断△AKF为等边三角形是解题的关键．