题目

已知两个空间直线方程的参数式,怎样求其距离?
直线1：
x=1+3t
y=2+2t
z=3+t(t为参数）
直线2：
x=4+6t
y=5+5t
z=6+4t
求两直线间的距离
第一个答全对的再加15分
如果并不是是两条相交的直线呢？
比如
直线1：
x=6+3t
y=12+2t
z=8+4t(t为参数）
直线2：
x=4+6t
y=5+5t
z=6+4t

提问时间：2020-10-25

答案

这两条直线是共面的,所以距离为0
但是对于一般的直线,以你说的这道题为例：
直线1的方向向量是(3,2,1),所以它的过(1+3s,2+2s,3+s)的法平面方程为
3(x-1-3s)+2(y-2-2s)+(z-3-s)=0,这个平面交直线2于一点,将x=4+6t,
y=5+5t,z=6+4t代入可得
t=(7s-9)/16,所以交点为[(21s+5)/8,(35s+35)/16,(7s+15)/4],由于距离是最短的,所以交点到(1+3s,2+2s,3+s)的距离最小值即为距离,注意s>=0
距离的平方为
[(21s+5)/8-1-3s]^2+[(35s+35)/16-2-2s]^2+[(7s+15)/4-3-s]^2
=（189/256)(s+1)^2
所以当s=-1时取最小值,为0
所以两直线距离为0.