题目

在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c,的对称轴为x=2,且经过点B（0,4）,C（5,9）,直线BC与x轴交于点A .
（1）求出直线BC及抛物线解析式.
（2）D（1,y）再抛物线上,在抛物线的对称轴上是否存在两点M,N,且MN=2,点M再点N的上方,使得四边形BDNM的周长最小,若存在,求出M,N两点的坐标,若不存在,请说明理由
（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相较于另一点P,请找出抛物线上所有满足到直线BC距离为2倍根号3的点P

提问时间：2020-10-25

答案

设直线方程为y=kx+b
过点BC
则有方程
4=b
9=5k+b
k=1
b=4
方程为y=x+4
抛物线y=ax2+bx+c,的对称轴为x=2,且经过点B（0,4）,C（5,9）
所以有方程
-b/2a=2
4=c
9=25a+5b+c
解得
a=1
b=-4
c=4
方程为y=x^2-4x+5
（2）D （1,y）在抛物线上
y=1-4+5=2
D（1,2）
BD=√[1+(2-4)^2]=√5
MN=2,且MN在对称轴上,点M在N上
设N点的坐标为（2,a）M为（2,2+a）
MB＝√[4+(2+a-4)^2]=√[4+(a-2)^2]
ND=√[(1-2)^2+(2-a)^2]=√[1+(2-a)^2]
周长为 √5+2+√[4+(a-2)^2]+]+√[1+(2-a)^2
要想使得周长最小,求取a的值使得√[4+(a-2)^2]+]+√[1+(2-a)^2最小
a=2
周长为√5+2+1+2=5+√5
（3）设点p（m,n）
BP的方程为y=（n-4）/m*x+4
P到BC的距离为2√3,过点p与BC垂直直线的斜率为-1,点p到BC的距离可求为√{[n-(m+n+4)/2]^2+[m-(m+n-4)/2]^2}=√[(1/4)*2(n-m-4)^2]=2√3
有方程
n=m^2-4m+5
√[(1/4)*2(n-m-4)^2]=2√3