题目

f（x)=1/2sin2xsinφ+cos^xcosφ- 1/2sin(π/2+φ).(0＜φ＜π）,且过（π/6,1/2）.(1)求φ（2）若横坐标变为原先的1/2,纵坐标不变,y=g(x),求g(x)在[0,π/4]上的最值.

提问时间：2020-10-24

答案

（1）原式f（x)=1/2sin2xsinφ+cos^xcosφ-1/2cosφ
=1/2sin2xsinφ+cosφ（cos^x-1/2）
=1/2sin2xsinφ+1/2cos2xcosφ
=1/2cos（2x-φ）
因为 原式过（π/6,1/2）
代入得 1/2cos（π/3-φ）=1/2
又因为 (0＜φ＜π）
所以 φ =π/3
（2）由（1）知f（x)=1/2cos（2x-π/3）
若横坐标变为原先的1/2,纵坐标不变
则有y=g（x）=1/2cos（4x-π/3）
因为cosx在（-π+2kπ,2kπ）上单增 在（2kπ,π+2kπ）上单减
所以g（x）在（-π/6+kπ/2,kπ/2+π/12)单增 在（kπ/2+π/12,π/3+kπ/2)单减
令k=0得g（x）在（-π/6,π/12）单增 在（π/12,π/3）单减
因为[0,π/4]属于[-π/6,π/3]
所以该区间符合题意
所以由图像知
当x=π/12时g（x）有最大值1/2
当x=π/4时g（x）有最小值-1/4